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By Jean-Jacques Risler

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Montrer que card((Zn /G)) = | det M |. 3. Soit H un groupe abélien engendré par trois éléments h 1 , h2 , h3 soumis aux relations : 3h1 + h2 + h3 = 0 25h1 + 8h2 + 10h3 = 0 46h1 + 20h2 + 11h3 = 0 Montrer que card(H) = 19 puis que H 4. Triangulariser la matrice Z/19Z. ⎛ ⎞ 3 1 1 ⎝ 25 8 10 ⎠ 46 20 11 en multipliant à droite par une matrice de SL 3 (Z) que l’on précisera. 5. En déduire un isomorphisme ϕ : H ϕ(h1 ), ϕ(h2 ), ϕ(h3 ). 2. Étude de Un := (Z/nZ)∗ © Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.

36. Le corps des rationnels Q est un exemple de Z-module sans torsion et non libre (si q1 = a/b et q2 = c/d sont deux rationnels non nuls, on a la relation bcq1 − adq2 = 0). 35. 33. a) Existence. Le module M est par hypothèse de type fini. Soit (m 1 , . . , mn ) un système (fini) de générateurs de M . 2). Soit N = ker f . 29 au sous-module N de L1 : il existe une base (f1 , . . , fn ) de L1 et des éléments 2 • Modules de type fini 40 bi ∈ A tels que b1 |b2 | . . |bn et que les (bi fi ) tels que bi = 0 forment une base de N .

On l’appelle le rang de L. Démonstration. Le fait que le morphisme φ soit défini par ses valeurs aux éléments fi vient de la définition d’une base. Le fait que ce soit un isomorphisme est évident (considérer le morphisme inverse ψ défini par ψ(e i ) = fi ). , il faut montrer que si l’on a un isomorphisme φ : A n → Am , alors n = m. Nous allons nous ramener au cas des espaces vectoriels, et utiliser l’invariance de la dimension. Soit p ∈ A un élément irréductible (donc non inversible). 39). Pour un A-module M , notons pM l’image de la multiplication par p (ensemble des éléments de M de la (pA)n , et forme pm pour m ∈ M ).

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